Teil 1: Vortrag: Verschlüsselung (RSA)

Campus Garching. Zuerst hielt Herr Dr. Himstedt für uns einen Vortrag über Verschlüsselung, eine Technik, die in unserem Alltag meist unbemerkt eine große Rolle spielt. Ob beim Online-Shopping, Geldabheben oder irgendeiner Passworteingabe, ständig bedient man sich der Verschlüsselung, um geheime Informationen zu schützen.
Der wohl bekannteste Algorithmus ist die historische „Caesar-Verschiebung“: Von jedem Klartextbuchstaben aus geht man im Alphabet eine festgelegte Anzahl an Stellen weiter, und erhält so den Geheimtextbuchstaben. Der Empfänger, der die Verschiebung kennt, kann dies wieder rückgängig machen, um den Klartext zu erhalten. Problematisch ist jedoch, dass ein Angreifer, der versucht, die Nachricht abzufangen, nur bis zu 25 Verschiebungen durchprobieren muss, bis er den Klartext erhält. Anschließend könnte er den Inhalt der Nachricht sogar verfälschen.
Im Laufe der Zeit fand man zwar auch prinzipiell „unknackbare“ Verfahren, jedoch musste dabei immer zuerst ein Schlüssel auf sicherem Wege zwischen Sender und Empfänger ausgetauscht werden.
Erst 1977 gelang Ronald L. Rivest, Adi Shamir und Leonard M. Adleman der Durchbruch mit dem nach ihnen benannten RSA-Verfahren, welches das erste Public-Key-Verfahren ist. Das bedeutet, dass kein geheimer Schlüsselaustauch nötig ist: Der Empfänger der Nachricht erzeugt ein Schlüsselpaar, von dem der Absender einen, nämlich den öffentlichen Schlüssel, auf ungesichertem Wege erhalten kann. Dieser öffentliche Schlüssel kann nur zum Verschlüsseln verwendet werden, zum Entschlüsseln ist allerdings der private Schlüssel nötig, welcher nur dem Empfänger bekannt ist.
Mathematisch beruht das System darauf, dass man zwei Primzahlen sehr einfach miteinander multiplizieren kann, jedoch aus dem Produkt nur mit großem Rechenaufwand diese Primfaktoren ermitteln kann. Die beiden Primzahlen benötigt man, um den privaten Schlüssel zu berechnen, das Produkt sowie eine zu ihm teilerfremde Zahl hat man als öffentlichen Schlüssel. Viel Spaß dem Angreifer beim Faktorisieren einer 600-stelligen Dezimalzahl.

Teil 2: Vorführung: Fraktale durch optische Rückkopplung

Nach einer einstündigen Mittagspause zeigte uns Herr M. Sc. Montag vom Lehrstuhl für Geometrie und Visualisierung Fraktale, indem er eine Kamera auf den Bildschirm richtete, der ihr Bild mehrfach in verschiedenen Größen, Drehungen und Verschiebungen anzeigte. So erhielten wir ein Bild, das nach einiger Zeit sich selbst – nur kleiner – glich. Das Prinzip wird an den folgenden Bildern deutlich. Dabei steht die blaue Linie für das Bild selbst (anfangs eine dicke weiße Linie), und die grünen Linien für dasselbe im nächsten Bild – nur kleiner, gedreht und verschoben.

Wie lang kann so eine Linie wohl werden?

Mit jedem Verfeinerungsschritt werden alle Linien durch mehrere andere ersetzt. Dabei wird die Gesamtlänge mit dem Faktor „Neue Länge geteilt durch alte Länge“ multipliziert. Nach n Schritten ergibt sich:

Gesamtlänge = Faktor ^ n

Wenn der Faktor größer eins ist, geht die Gesamtlänge gegen Unendlich, ist er kleiner, so geht sie gegen Null.

Die Fläche dieses Fraktals ist Null.

Um die „Größe“ eines solchen Fraktals zu messen, muss man seine Dimension herausfinden. Dieses Fraktal ist 1,365212389-dimensional, also irgendetwas zwischen Linie und Fläche. Nur in dieser Dimension ergibt sich eine Größe, die nicht Unendlich oder Null ist.

Dieses Fraktal ist dagegen zweidimensional, es nimmt eine Fläche ein (bei „Depth: ∞“).
Ein anderes Fraktal
Es entstand bei einer nichtlinearen Verzerrung.

Der Besuch hat uns gezeigt, dass Mathematik doch mehr ist als Rechnen. Selbst einfachste Regeln können sich zu beeindruckender Schönheit entwickeln.